Mlinganyo wa quadratic una umbo la ax² + bx + c = 0. Kuna mbinu nne za kuzitatua - kujua ni lipi la kutumia na wakati gani hufanya aljebra kwa kasi zaidi.
Fomu ya Kawaida
Kila mlinganyo wa quadratic unaweza kuandikwa kama:
ax² + bx + c = 0
Ambapo ≠ 0 (ikiwa ni = 0, ni mlinganyo wa mstari).
Mifano:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Njia ya 1: Kuweka
Hufanya kazi vyema zaidi wakati mlinganyo huzingatia kikamilifu katika nambari kamili. Mbinu ya haraka zaidi inapotumika.
Hatua:
- Andika kwa fomu ya kawaida
- Tafuta nambari mbili zinazozidisha hadi (a × c) na uongeze kwa b
- Gawanya muhula wa kati na kipengele kwa kupanga
- Weka kila kipengele sawa na sifuri
Mfano: x² − 5x + 6 = 0
- Unahitaji nambari mbili: zidisha hadi 6, ongeza kwa −5 → −2 na -3
- Sababu: (x − 2)(x - 3) = 0
- Suluhu: x = 2 au x = 3
Mfano: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, hitaji sababu za kuongeza 5 → 2 na 3
- Andika upya: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Sababu: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Sababu: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Suluhu: x = −3/2 au x = −1
Wakati wa kutumia: Wakati unaweza kuona sababu haraka. Ikiwa hautapata sababu katika sekunde 30, badilisha mbinu.
Mbinu 2: Mfumo wa Quadratic
Hufanya kazi kwa kila mlinganyo wa quadratic. Tumia hii wakati uainishaji sio dhahiri.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Mfano: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Kibaguzi: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 au x = (−3 − 5) ÷ 4 = -2
Mbaguzi: Suluhu Ngapi?
Usemi b² − 4ac unakuambia asili ya suluhu kabla ya kutatua:
| Mbaguzi | Idadi ya Suluhisho | Aina |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Suluhisho mbili za kweli | Nambari halisi |
| b² − 4ac = 0 | Suluhisho moja linalorudiwa | Kweli, mizizi sawa |
| b² − 4ac <0 | Hakuna masuluhisho ya kweli | Mizizi miwili changamano/ya kufikirika |
Mfano: x² + 2x + 5 = 0
- Kibaguzi = 4 − 20 = −16 → hakuna masuluhisho ya kweli
- Suluhu tata: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Njia ya 3: Kukamilisha Mraba
Hubadilisha mlinganyo kuwa (x + p)² = umbo la q. Muhimu kwa kuelewa umbo la vertex na kupata fomula ya quadratic.
Hatua:
- Hoja mara kwa mara kwa upande wa kulia
- Gawanya kwa (ikiwa ≠ 1)
- Ongeza (b/2a)² kwa pande zote mbili
- Fanya upande wa kushoto kama mraba kamili
- Chukua mizizi ya mraba ya pande zote mbili
Mfano: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Ongeza (6/2)² = 9 kwa pande zote mbili: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 au x = −5
Njia ya 4: Kuchora
Suluhisho (mizizi) ni vipatavyo x vya parabola y = ax² + bx + c.
- Vinasishi viwili vya x → suluhu mbili za kweli
- Kinasa kimoja cha x (kipeo kwenye mhimili wa x) → suluhu moja inayorudiwa
- Hakuna viingilia-x → hakuna suluhu halisi (mizizi tata)
Wakati wa kutumia: Kwa ufahamu wa kuona au unapotumia kikokotoo cha kuchora. Sio vitendo kwa majibu kamili.
Kuchagua Njia Sahihi
| Hali | Mbinu Bora |
|---|---|
| Nambari ya mgawo, inaonekana kuwa ya kawaida | Factoring kwanza |
| Kila quadratic, inahitaji jibu kamili | Fomula ya Quadratic |
| Kuelewa vertex/kiwango cha chini/kiwango cha juu zaidi | Kukamilisha mraba |
| Uelewa wa kuona au makadirio | Kuchora |
| b² − 4ac <0 | Fomula ya Quadratic (hutoa mizizi tata) |
Marejeleo ya Haraka: Miundo ya Kawaida
Tofauti ya miraba: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Utatu kamili wa mraba: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (unaorudiwa)
Hakuna neno la kati: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (halisi ikiwa tu c na alama zina kinyume)
Jumla na Bidhaa ya Mizizi
Kwa ax² + bx + c = 0 yenye mizizi r₁ na r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Uthibitishaji wa mfano: x² − 5x + 6 = 0, mizizi 2 na 3:
- Jumla: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Bidhaa: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Tumia kisuluhishi chetu cha mlinganyo wa ujazo kwa milinganyo ya digrii-3, au tumia fomula ya quadratic hapo juu kwa quadratic yoyote ya kawaida.